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XY-Chain Technik: Kettenlogik mit Zweiwert-Zellen

2025-06-05 · 10 Min. Lesezeit
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XY-Chain ist eine leistungsstarke Kettenschlussmethode unter den fortgeschrittenen Sudoku-Techniken. Sie ist eine Erweiterung von XY-Wing und verwendet Kettenstrukturen aus mehreren Zweiwert-Zellen (Zellen mit nur zwei Kandidaten) zur Kandidatenelimination.

Grundprinzip:
Eine XY-Chain besteht aus einer Reihe von Zweiwert-Zellen, wobei benachbarte Zellen einen Kandidaten teilen. Der Anfang und das Ende der Kette haben jeweils einen nicht geteilten Kandidaten. Wenn diese beiden Zahlen gleich sind (genannt Z), dann können Zellen, die sowohl den Kettenanfang als auch das Kettenende sehen können, den Kandidaten Z eliminieren. Der Grund: Der Kettenlogik folgend muss Z entweder am Kettenanfang oder am Kettenende erscheinen.
XY-Kette Prinzip Animation
XY-Kette Prinzip: Start{Z,A} und Ende{C,Z} teilen Kandidat Z, Z muss am Start oder Ende sein, Z aus gemeinsamem Sichtbereich eliminieren

Vor dem Lesen dieses Artikels wird empfohlen, die Sudoku-Namenskonventionen, Nackte Paare und die Grundlagen von XY-Wing zu verstehen.

Struktur der XY-Chain

XY-Chain enthält die folgenden Schlüsselelemente:

  • Kettenknoten: Jeder Knoten ist eine Zweiwert-Zelle {A,B}
  • Kettenverbindungen: Benachbarte Knoten müssen sich „sehen" (gleiche Zeile, Spalte oder Block) und einen Kandidaten teilen
  • Kettenanfang und -ende: Jeder hat einen Kandidaten, der nicht mit dem benachbarten Knoten geteilt wird
  • Eliminierungsbedingung: Wenn die nicht geteilten Kandidaten von Anfang und Ende gleich sind, ist eine Elimination möglich

Kettennotation: A(x,y) → B(y,z) → C(z,w) → ... wobei Klammern Kandidaten enthalten, Pfeile die Kettenrichtung zeigen und benachbarte Knoten eine Zahl teilen (wie y, z).

Warum funktioniert XY-Chain?

1 Kettenausbreitung: Angenommen, die Kette ist A{X,Y} → B{Y,Z} → C{Z,W}. Wenn A=X, dann muss B=Z sein (da B nicht =Y sein kann), dann muss C=W sein (da C nicht =Z sein kann).
2 Zwei Möglichkeiten: Der Kettenanfang hat zwei Kandidaten {P,Q}, wobei Q mit dem nächsten Knoten geteilt wird. Wenn Anfang=P, endet die Schlussfolgerung; wenn Anfang=Q, pflanzt sich die Logik entlang der Kette zum Ende fort.
3 Schlüsselschlussfolgerung: Wenn die nicht geteilte Zahl P des Kettenanfangs gleich der nicht geteilten Zahl des Kettenendes ist, muss P entweder am Kettenanfang oder am Kettenende erscheinen.
4 Eliminierungsziel: Zellen, die sowohl Kettenanfang als auch -ende sehen können, können P nicht enthalten (da P am Anfang oder Ende sein muss).

Beispiel 1: 4-Knoten XY-Chain

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel einer 4-Knoten XY-Chain an.

XY-Chain Beispiel 1
Abbildung 1: XY-Chain R2C2{3,7} → R2C6{3,5} → R9C6{2,5} → R9C7{2,7}, kann 7 aus R2C7 eliminieren
Dieses Beispiel im Solver öffnen

Analyseprozess

1 Kettenknoten identifizieren:
  • R2C2: Kandidaten {3, 7} (Kettenanfang)
  • R2C6: Kandidaten {3, 5}
  • R9C6: Kandidaten {2, 5}
  • R9C7: Kandidaten {2, 7} (Kettenende)
2 Kettenverbindungen überprüfen:
  • R2C2 und R2C6 sind in derselben Zeile (Zeile 2), teilen Kandidat 3
  • R2C6 und R9C6 sind in derselben Spalte (Spalte 6), teilen Kandidat 5
  • R9C6 und R9C7 sind in derselben Zeile (Zeile 9), teilen Kandidat 2
3 Eliminierungszahl bestimmen:
  • Nicht geteilte Zahl des Anfangs R2C2{3,7} = 7 (3 wird mit R2C6 geteilt)
  • Nicht geteilte Zahl des Endes R9C7{2,7} = 7 (2 wird mit R9C6 geteilt)
  • Sie sind gleich! Z = 7
4 Schlussfolgerungsprozess:
  • Wenn R2C2=7 → 7 ist am Kettenanfang
  • Wenn R2C2=3 → R2C6 kann nicht 3 sein → R2C6=5 → R9C6 kann nicht 5 sein → R9C6=2 → R9C7 kann nicht 2 sein → R9C7=7 → 7 ist am Kettenende
  • In beiden Fällen muss 7 in R2C2 oder R9C7 sein
5 Eliminierungsziel finden: R2C7 kann sowohl Kettenanfang R2C2 (gleiche Zeile) als auch Kettenende R9C7 (gleiche Spalte) sehen.
Schlussfolgerung:
XY-Chain: R2C2{3,7} → R2C6{3,5} → R9C6{2,5} → R9C7{2,7}
Kann Kandidat 7 aus R2C7 eliminieren.

Beispiel 2: Lange 10-Knoten-Kette

XY-Chains können sehr lang sein. Hier ist ein 10-Knoten-Beispiel, das die starke Fähigkeit der Kettenlogik demonstriert.

XY-Chain Beispiel 2
Abbildung 2: XY-Chain R2C5{1,5} → R2C1{1,5} → R1C1{5,8} → R1C7{7,8} → R3C7{7,8} → R3C2{4,8} → R7C2{4,8} → R8C1{4,8} → R8C7{4,9} → R8C3{5,9}, kann 5 aus R8C5 eliminieren
Dieses Beispiel im Solver öffnen

Analyseprozess

1 Kettenknoten identifizieren (10 Knoten):
  • R2C5: {1, 5} (Kettenanfang)
  • R2C1: {1, 5}
  • R1C1: {5, 8}
  • R1C7: {7, 8}
  • R3C7: {7, 8}
  • R3C2: {4, 8}
  • R7C2: {4, 8}
  • R8C1: {4, 8}
  • R8C7: {4, 9}
  • R8C3: {5, 9} (Kettenende)
2 Kettenverbindungen überprüfen:
  • R2C5 → R2C1: gleiche Zeile, teilen 1 (oder 5)
  • R2C1 → R1C1: gleiche Spalte, teilen 5
  • R1C1 → R1C7: gleiche Zeile, teilen 8
  • R1C7 → R3C7: gleiche Spalte, teilen 7 (oder 8)
  • R3C7 → R3C2: gleiche Zeile, teilen 8
  • R3C2 → R7C2: gleiche Spalte, teilen 4 (oder 8)
  • R7C2 → R8C1: gleicher Block, teilen 8
  • R8C1 → R8C7: gleiche Zeile, teilen 4
  • R8C7 → R8C3: gleiche Zeile, teilen 9
3 Eliminierungszahl bestimmen:
  • Nicht geteilte Zahl des Anfangs R2C5{1,5} = 5 (1 wird mit R2C1 geteilt)
  • Nicht geteilte Zahl des Endes R8C3{5,9} = 5 (9 wird mit R8C7 geteilt)
  • Sie sind gleich! Z = 5
4 Schlussfolgerung: Ob Kettenanfang R2C5 nun 1 oder 5 ist, Kandidat 5 muss entweder am Kettenanfang R2C5 oder am Kettenende R8C3 erscheinen.
5 Eliminierungsziel finden: R8C5 kann sowohl Kettenanfang R2C5 (gleiche Spalte) als auch Kettenende R8C3 (gleiche Zeile) sehen.
Schlussfolgerung:
XY-Chain (10 Knoten): R2C5 → R2C1 → R1C1 → R1C7 → R3C7 → R3C2 → R7C2 → R8C1 → R8C7 → R8C3
Kann Kandidat 5 aus R8C5 eliminieren.

Wie findet man XY-Chains?

Das Finden von XY-Chains erfordert einen systematischen Ansatz:

1 Zweiwert-Zellen markieren: Zuerst alle Zellen mit nur zwei Kandidaten identifizieren.
2 Startpunkt wählen: Eine Zweiwert-Zelle als Kettenanfang auswählen, ihre zwei Kandidaten {P,Q} notieren.
3 Kette erweitern: Zweiwert-Zellen finden, die den aktuellen Knoten „sehen" können und einen Kandidaten teilen als nächsten Knoten.
4 Abbruchbedingung prüfen: Nach jeder Erweiterung prüfen, ob die nicht geteilte Zahl des Endes gleich der nicht geteilten Zahl P des Anfangs ist.
5 Eliminierungsziele finden: Zellen finden, die sowohl Anfang als auch Ende der Kette sehen können und P enthalten.
Wichtige Hinweise:
  • Jeder Knoten in der Kette muss eine Zweiwert-Zelle sein
  • Benachbarte Knoten müssen sich gegenseitig sehen (gleiche Zeile, Spalte oder Block)
  • Benachbarte Knoten müssen einen Kandidaten teilen
  • Eliminierungsbedingung: Die nicht geteilten Kandidaten von Anfang und Ende sind gleich
  • XY-Wing ist ein Spezialfall von XY-Chain (eine Kette der Länge 3)

Beziehung zwischen XY-Chain und XY-Wing

XY-Wing kann als XY-Chain der Länge 3 betrachtet werden:

  • XY-Wing: Pivot{X,Y} → Flügel1{X,Z} → Flügel2{Y,Z}... etc., dies ist nicht wirklich eine Standardkettenform
  • Tatsächliche Beziehung: Die XY-Wing-Struktur ist „Y"-förmig, während XY-Chain linear ist
  • Gemeinsamkeit: Beide verwenden Zweiwert-Zellen für logische Elimination
  • Unterschied: XY-Chain erfordert Kettenverbindung, XY-Wing erfordert, dass der Pivot beide Flügel sieht

Technik-Zusammenfassung

Schlüsselpunkte zur Anwendung von XY-Chain:

  • Knotenanforderung: Alle Knoten sind Zweiwert-Zellen
  • Verbindungsanforderung: Benachbarte Knoten können sich sehen und teilen einen Kandidaten
  • Eliminierungsbedingung: Die nicht geteilten Kandidaten von Anfang und Ende sind gleich
  • Eliminierungsziel: Der geteilte Kandidat in Zellen, die sowohl Anfang als auch Ende sehen können
  • Kettenlänge: Theoretisch unbegrenzt, längere Ketten sind schwerer zu finden aber leistungsstärker
Jetzt üben:
Starten Sie ein Sudoku-Spiel und versuchen Sie, XY-Chain zur Elimination zu nutzen! Finden Sie zuerst alle Zweiwert-Zellen und versuchen Sie dann, sie zu einer Kette zu verbinden.
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